Cómo factorizar binomios

En álgebra, un binomio es una expresión de dos términos conectada por un signo de suma o resta, como por ejemplo ax+b{displaystyle ax+b}. El primer término siempre incluye una variable, mientras que el segundo puede tener otra variable o no. Factorizar un binomio implica hallar los términos más simples que, al multiplicarse, den como resultado la expresión original, lo que te permite resolverla o simplificarla para continuar el proceso.

editarPasos

editarFactorizar binomios

1. Revisa los conceptos básicos de la factorización. Esta consiste en simplificar un número grande en sus partes divisibles más pequeñas. Cada una de estas partes se llama “factor”. Por ejemplo, el número 6 puede dividirse entre cuatro números diferentes: 1, 2, 3 y 6. Por tanto, los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6.
   • Los factores de 32 son 1, 2, 4, 8, 16 y 32.
   • Tanto “1” como el número que vas a factorizar son factores. Por lo tanto, los factores de un número pequeño, como 3, serían simplemente 1 y 3.
   • Los factores son solo los números divisibles o números “enteros”. Podrías dividir 32 entre 3,564 o 32,4952, pero no hallarás un factor, sino simplemente otro número decimal.
2. Coloca los términos del binomio de tal manera que sean más fáciles de leer. Un binomio es simplemente la suma o diferencia de dos números, donde al menos uno debe incluir una variable. A veces, las variables tienen exponentes, como x2{displaystyle x^{2}} o 5y4{displaystyle 5y^{4}}. Cuando recién empiezas a factorizar binomios, puede ser útil reordenar las ecuaciones de manera ascendente; es decir, con el exponente más grande al final. Por ejemplo:
   • 3t+6{displaystyle 3t+6} → 6+3t{displaystyle 6+3t}
   • 3×4+9×2{displaystyle 3x^{4}+9x^{2}} → 9×2+3×4{displaystyle 9x^{2}+3x^{4}}
   • x2−2{displaystyle x^{2}-2} → −2+x2{displaystyle -2+x^{2}}
     • Observa que el signo negativo sigue estando delante del 2. Si uno de los términos debe restarse, mantén el signo negativo delante de él.
3. Halla el máximo factor común de ambos términos. Esto significa que debes hallar el número mayor entre el cual puedes dividir ambas partes del binomio. Si tienes dificultad para hacerlo, simplemente factoriza ambos números por separado y luego observa cuál es el número más grande que tienen en común. Por ejemplo:
   • Problema de práctica: 3t+6{displaystyle 3t+6}
     • Factores de 3: 1, 3
     • Factores de 6: 1, 2, 3, 6
     • El máximo factor común es 3.
4. Divide el máximo factor común de cada término. Una vez que halles el factor común, tendrás que eliminarlo de cada término. Sin embargo, ten en cuenta que simplemente separarás los términos, convirtiéndolos en pequeñas divisiones. Si lo haces correctamente, ambas ecuaciones compartirán el factor hallado:
   • Problema de práctica: 3t+6{displaystyle 3t+6}
   • Halla el máximo factor común: 3
   • Elimina el factor de ambos términos:3t3+63=t+2{displaystyle {frac {3t}{3}}+{frac {6}{3}}=t+2}
5. Para terminar, multiplica la expresión final por el factor. En el problema anterior, se eliminó 3 para obtener t+2{displaystyle t+2}. Sin embargo, realmente no te deshiciste del 3 por completo, sino que lo factorizaste para simplificar la expresión. No es posible borrar números sin volver a colocarlos. Por tanto, debes multiplicar el factor por la expresión para terminar el proceso correctamente. Por ejemplo:
   • Problema de práctica: 3t+6{displaystyle 3t+6}
   • Halla el máximo factor común: 3
   • Elimina el factor de ambos términos:3t3+63=t+2{displaystyle {frac {3t}{3}}+{frac {6}{3}}=t+2}
   • Multiplica el factor por la nueva expresión: 3(t+2){displaystyle 3(t+2)}
   • Respuesta final factorizada: 3(t+2){displaystyle 3(t+2)}
6. Revisa tu trabajo multiplicando todo hasta llegar a la ecuación original. Si has hecho todo correctamente, revisar será un proceso sencillo. Simplemente tienes que multiplicar el factor por ambos términos dentro del paréntesis. Si el resultado es igual a la expresión original sin factorizar, todo está correcto. Resuelve la expresión 12t+18{displaystyle 12t+18} desde el inicio hasta el final para practicar:
   • Reorganiza los términos: 18+12t{displaystyle 18+12t}
   • Halla el máximo factor común: 6{displaystyle 6}
   • Elimina el factor de ambos términos: 18t6+12t6=3+2t{displaystyle {frac {18t}{6}}+{frac {12t}{6}}=3+2t}
   • Multiplica el factor por la nueva expresión: 6(3+2t){displaystyle 6(3+2t)}
   • Revisa tu respuesta: (6∗3)+(6∗2t)=18+12t{displaystyle (6*3)+(6*2t)=18+12t}

editarFactorizar binomios para resolver ecuaciones

1. Utiliza la factorización para simplificar ecuaciones y facilitar su resolución. Al resolver una ecuación con binomios, particularmente los más complejos, puede parecer que no hay forma de que todo encaje. Por ejemplo, intenta resolver 5y−2y2=−3y{displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}. Una forma de hacerlo, sobre todo cuando hay exponentes, es factorizar primero.
   • Problema de práctica: 5y−2y2=−3y{displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
   • Recuerda que los binomios solo tienen dos términos. Si hay más de dos, será mejor que revises una guía para aprender a resolver polinomios.
2. Suma y resta de tal manera que el valor de un lado de la ecuación sea cero. Esta estrategia tiene su fundamento en uno de los principios más básicos de las matemáticas: cualquier valor multiplicado por cero es igual a cero. Por lo tanto, si la expresión equivale a cero, uno de los términos factorizados debe ser cero. Para empezar, suma y resta según sea necesario hasta que uno de los lados sea igual a cero.
   • Problema de práctica: 5y−2y2=−3y{displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
   • Iguala un lado a cero: 5y−2y2+3y=−3y+3y{displaystyle 5y-2y^{2}+3y=-3y+3y}
     • 8y−2y2=0{displaystyle 8y-2y^{2}=0}
3. Factoriza el lado que no es cero como lo harías normalmente. Para este paso puedes fingir que el otro lado no existe. Simplemente haya el máximo factor común, divide la expresión entre el factor y crea una expresión factorizada.
   • Problema de práctica: 5y−2y2=−3y{displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
   • Iguala un lado a cero: 8y−2y2=0{displaystyle 8y-2y^{2}=0}
   • Factoriza: 2y(4−y)=0{displaystyle 2y(4-y)=0}
4. Iguala a cero los valores de dentro y fuera del paréntesis. En el problema de práctica, se multiplica 2y por 4 – y, y el producto debe ser 0. Dado que cualquier valor multiplicado por 0 es 0, 2y o 4 – y deben ser 0. Crea dos ecuaciones separadas para hallar el valor de “y” para que alguna de las expresiones sea 0.
   • Problema de práctica: 5y−2y2=−3y{displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
   • Iguala un lado a cero: 8y−2y2+3y=0{displaystyle 8y-2y^{2}+3y=0}
   • Factoriza: 2y(4−y)=0{displaystyle 2y(4-y)=0}
   • Iguala ambas partes de la expresión a 0:
     • 2y=0{displaystyle 2y=0}
     • 4−y=0{displaystyle 4-y=0}
5. Resuelve ambas ecuaciones para hallar la respuesta o respuestas finales. Es posible que obtengas una respuesta o más. Recuerda que solo un lado de la ecuación debe ser igual a 0, así que quizá halles varios valores distintos para “y” que resuelvan la misma ecuación. Completa el problema de práctica:
   • 2y=0{displaystyle 2y=0}
     • 2y2=02{displaystyle {frac {2y}{2}}={frac {0}{2}}}
     • y = 0
   • 4−y=0{displaystyle 4-y=0}
     • 4−y+y=0+y{displaystyle 4-y+y=0+y}
     • y = 4
6. Reemplaza la variable con los resultados obtenidos para verificar su validez. Si has obtenido los valores correctos de “y”, deberás poder utilizarlos para resolver la ecuación. Es tan simple como reemplazar “y” con cada una de las variables como se muestra a continuación. Si las respuestas dieron como resultado que “y” puede valer 0 o 4, entonces:
   • 5(0)−2(0)2=−3(0){displaystyle 5(0)-2(0)^{2}=-3(0)}
     • 0+0=0{displaystyle 0+0=0}
     • 0=0{displaystyle 0=0} Esta respuesta es correcta.
   • 5(4)−2(4)2=−3(4){displaystyle 5(4)-2(4)^{2}=-3(4)}
     • 20−32=−12{displaystyle 20-32=-12}
     • −12=−12{displaystyle -12=-12} Esta respuesta también es correcta.

editarResolver problemas más complejos

1. Recuerda que las variables también son factores, incluso cuando tienen exponentes. Ten en cuenta que la factorización implica hallar qué números pueden dividir la expresión. Por ejemplo, x4{displaystyle x^{4}} es otra forma de escribir x∗x∗x∗x{displaystyle x*x*x*x}. Esto significa que puedes factorizar “x” si el otro término de la expresión también incluye esta variable. Considera a las variables como cualquier otro número. Por ejemplo:
   • 2t+t2{displaystyle 2t+t^{2}} puede factorizarse, ya que ambos términos incluyen “t”. La respuesta final sería t(2+t){displaystyle t(2+t)}.
   • Incluso puedes factorizar múltiples variables a la vez. Por ejemplo, en la expresión x2+x4{displaystyle x^{2}+x^{4}} ambos términos incluyen x2{displaystyle x^{2}}. Por lo tanto, expresión factorizada sería x2(1+x2){displaystyle x^{2}(1+x^{2})}.
2. Combina los términos semejantes para reconocer binomios que no se han simplificado. Por ejemplo, utiliza la expresión 6+2x+14+3x{displaystyle 6+2x+14+3x}. Quizá te parezca que tiene cuatro términos, pero si observas bien te darás cuenta de que son solo dos. Puedes sumar los términos semejantes. Dado que 6 y 14 no tienen una variable, y que 2x y 3x tienen la misma variable, puedes combinar estos términos. Luego de hacerlo, factorizar es más sencillo:
   • Problema original: 6+2x+14+3x{displaystyle 6+2x+14+3x}
   • Reorganiza los términos: 2x+3x+14+6{displaystyle 2x+3x+14+6}
   • Combina los términos semejantes: 5x+20{displaystyle 5x+20}
   • Halla el máximo factor común: 5(x)+5(4){displaystyle 5(x)+5(4)}
   • Factoriza: 5(x+4){displaystyle 5(x+4)}
3. Reconoce el caso especial de la “diferencia de cuadrados perfectos”. Un cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un número entero, como 9{displaystyle 9} (3∗3){displaystyle (3*3)}, x2{displaystyle x^{2}} (x∗x){displaystyle (x*x)} o incluso 144t2{displaystyle 144t^{2}} (12t∗12t){displaystyle (12t*12t)}. Si el binomio del problema es la diferencia de dos cuadrados perfectos, como a2−b2{displaystyle a^{2}-b^{2}}, puedes reemplazar la expresión con la siguiente fórmula:
   • Fórmula de la diferencia de cuadrados perfectos: a2−b2=(a+b)(a−b){displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
   • Problema de práctica: 4×2−9{displaystyle 4x^{2}-9}
   • Halla las raíces cuadradas:
     • 4×2=2x{displaystyle {sqrt {4x^{2}}}=2x}
     • 9=3{displaystyle {sqrt {9}}=3}
   • Reemplaza los cuadrados en la fórmula: 4×2−9=(2x+3)(2x−3){displaystyle 4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)}^[1]
4. Aprende a descomponer la “diferencia de cubos perfectos”. Al igual que en el caso de los cuadrados perfectos, también existe una fórmula sencilla para cuando debes factorizar un binomio que expresa la diferencia de dos términos elevados al cubo. Por ejemplo, a3−b3{displaystyle a^{3}-b^{3}}. Al igual que en el caso anterior, simplemente debes hallar la raíz cúbica de cada término y colocar los valores en la siguiente fórmula:
   • Fórmula de la diferencia de cubos perfectos: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2){displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
   • Problema de práctica: 8×3−27{displaystyle 8x^{3}-27}
   • Halla las raíces cúbicas:
     • 8×33=2x{displaystyle {sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}
     • 273=3{displaystyle {sqrt[{3}]{27}}=3}
   • Reemplaza los valores en la fórmula: 8×3−27=(2x−3)(4×2+6x+9){displaystyle 8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)}^[2]
5. Ten en cuenta que la suma de cubos perfectos también tiene su propia fórmula. Este caso es distinto a la diferencia de cuadrados perfectos, ya que puedes hallar el resultado de la suma los cubos fácilmente, como en a3+b3{displaystyle a^{3}+b^{3}}, con una fórmula simple. Es casi igual que la fórmula del paso anterior salvo que se intercambian los signos de suma y resta. La fórmula es tan sencilla como las otras dos antes mencionadas y lo único que debes hacer es reconocer los dos cubos en el problema:
   • Fórmula de la suma de cubos perfectos: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2){displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
   • Problema de práctica: 8×3−27{displaystyle 8x^{3}-27}
   • Halla las raíces cúbicas:
     • 8×33=2x{displaystyle {sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}
     • 273=3{displaystyle {sqrt[{3}]{27}}=3}
   • Reemplaza los valores en la fórmula: 8×3−27=(2x+3)(4×2−6x+9){displaystyle 8x^{3}-27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)}^[3]

editarConsejos

• Ten en cuenta que no todos los binomios tienen factores comunes. Quizá algunos ya estén simplificados tanto como es posible.
• Si no estás seguro de que existe un factor común, divídelo en partes más pequeñas. Por ejemplo, si no reconoces que 16 es el factor común entre 32 y 16, empieza a dividir ambos entre 2. Al hacerlo, tendrás 16 y 8, que también pueden dividirse entre 8. Ahora tienes 2 y 1, los factores más pequeños. Evidentemente, existe un número mayor que 8 y 2 que es un factor común.
• Recuerda que la sexta potencia (x⁶) es ambas: un cuadrado perfecto ‘’y’’ un cubo perfecto. Como tal, puedes aplicar las dos fórmulas especiales indicadas más arriba, en cualquier orden, a un binomio que es la diferencia de valores elevados a la sexta potencia, como “x⁶ – 64”. Sin embargo, quizá te parezca más sencillo aplicar la fórmula de la diferencia de cuadrados perfectos primero, de tal manera que puedas factorizar el binomio de forma más completa.

editarAdvertencias

• Un binomio que es la suma de sus cuadrados perfectos no puede factorizarse.

editarReferencias

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Source: Wiki News